直角三角形边长（图形的认识---直角三角形）

直角三角形的边长(对图形直角三角形的理解)

勾股定理

在图形学的研究中，直角三角形是基本也是重要的。大概正因为如此，几乎所有的古代文明都研究过直角三角形，在许多古代文明的历史文献中，都明确记载了与直角三角形边长密切相关的三个数值：3、4、5。在中国，这三个数值早记录在《周髀算经》。书上说商高答周公：

钩三，股修四，径角五

也就是说，对于一个直角三角形，如果两条直角边(钩和股)的长度分别是3和4，那么斜边的长度就是5。三国赵爽注《周髀算经》时，给出了一个大概的结果，并证明了这个结果。设两条直角边是A和B，斜边是C，那么三条边的长度之间的关系是

a2 b2=c2(1)

我们把上面的定理叫做勾股定理，把满足上面公式的整数解叫做勾股数，是三个整数的数组。在西方，这个定理叫做毕达哥拉斯定理，这个数组叫做毕达哥拉斯数。很明显，(3，4，5)是一组钩子，而且是小的一组钩子。发现于尼罗河三角洲，约公元前2000年的卡胡恩纸莎草纸有这样一个标题：

将一个面积为100的大正方形分成两个小正方形，一边长是另一边长的四分之三

这个答案只是一组毕达哥拉斯数(6，8，10)。古埃及人得到的结果是这样的：如果b=1，那么a=3/4，那么从公式(1)可以得到c=5/4。现在c=10，是5/4的8倍，所以可以得出结论：a=(3/4)8=6，b=18=8。这里用到了“两个三角形相似当且仅当这两个三角形对应的边成比例”这个命题，这个命题是我们今天初中数学教学的难点之一。那么古埃及人是如何直观地得出这个命题的呢？我想大概是勾股定理的巧妙应用吧。我们对这个问题分析如下：

在我国初中数学《图形与几何》的教学中，只给出了多边形相似的定义：若两个多边形对应的角相等，对应的边成比例，则称这两个多边形相似。显然，这个定义并没有回答存在，也就是没有给出“对于任意给定的边之间的相似比，所有相似的多边形都存在”这个命题。这样，在将多边形相似性的定义应用于三角形时就出现了问题，因为要使两个三角形相似，只需要对应的边成比例即可。这意味着对应边成比例的两个三角形的对应角也必须相等。但是证明这个命题是比较繁琐的，是中学数学教学中比较难的问题之一。现在，我们试着回到古埃及人的思维。

首先，古埃及人清楚地知道三角形是直角三角形当且仅当勾股定理成立，也就是说，他们不仅知道直角三角形的三条边长满足公式(1)，还知道边长满足公式(1)的三角形是直角三角形。甚至很多数学史专家都认为，古埃及人建造金字塔的时候，就是用(3，4，5)这组毕达哥拉斯数来确定直角的。然后，对于两个三角形1和2，假设边长分别为A，B，C和A，B，C，如图(1)(a)所示：

若1为直角三角形，与2的对应边成正比，即a/A=b/B=c/C，则由勾股定理可知，2也是直角三角形，角等于角，从而可得图(1)(b)。所以我们知道这两个直角三角形是相似的，也就是我们直观地得到了“两个直角三角形对应的边在一个比列上时是相似的”这个命题。因为任何三角形都可以转化为两个直角三角形，所以不难得到“两个三角形若对应边成比例则相似”的一般结论。

在上述计算中，使用了直角三角形的角关系，即如图(1)(a)所示

= 当且仅当b/a=B/A (2)

可以看出，上面的公式构造了三角函数的直观基础：在任意两个直角三角形中，如果一个锐角相等，那么这两个直角三角形的直角边之比也相应相等，即等角对应的直角边之比是一个常数。所以人们可以定义这个常数值，比如称之为正切值，即公式(2)右边的比值正好是角度(从而角度)的三角函数的正切值。可见，由于生产实践的需要，古埃及人创造了许多计算图形的长度、面积、体积和角关系的方法。然而，更令人惊讶的是在两河流域的发现。有学者认为，巴比伦人在公元前1600年之前就已经做出了三角函数的正切表，这当然与毕达哥拉斯的数量有关。

古巴比伦

流淌不息的底格里斯河和幼发拉底河发源于今天的土耳其，流入波斯湾。这两条河流浇灌了美索不达米亚平原，孕育了两河流域的文明。公元前19世纪，在这片土地上建立了强大的巴比伦王国，首都是巴比伦，所以人们也把这里的文明称为古巴比伦。其实两河文明延续了3000多年，古巴比伦是两河文明重要的一部分，但不是全部。关于巴比伦城，希罗多德在书中是这样描述的《历史》:

“这座城市坐落在一个大平原上，它的形状是正方形的。每边长120视距，所以它周围有480视距。这座城市的规模如此之大，它的风格是我们所知道的任何一座城市都无法比拟的。

有一条河把整个城市从中间分成两部分。这条河就是幼发拉底河，是一条又宽又深、水流湍急的河。它发源于阿尔穆尼亚，流入红海。"

锡夫诺斯岛

其中一个长度单位是斯塔滕，大约是211-224米。如果希罗多德的记载可靠，那么巴比伦古城的长度约为26公里，整个城市的面积约为670平方公里，相当于现在的新加坡。这的确是一个相当大的城市。但希罗多德《历史》中的很多记载并不可靠，也不像司马迁的《史记》那样经得起推敲。

>我们已经说过，两河流域的人们把楔形文字刻写在泥版上，在已经发现的几十万块泥版中大约有300快是与数学有关的，其中包括一些数表，比如乘法表，倒数表，平方表和立方表。其中有一个被称为“普林顿322”的泥版，记录了15组勾股数。我们知道，即便是在今天，能够计算出15组勾股数也不是一件容易的事情，而这项工作却是在公元前1900-前1600年的古巴比伦时代完成的，实在是令人感叹。

现代科学技术已经相当发达了，但勾股定理在今天仍然有着广泛的应用。这个应用是基于下面的几何直观，如图（2）所示：

图（2)

我们把直角三角形的斜边看作二维空间的向量c→，那么向量c→向直线L（一维空间）上的投影恰为a→，也就是说，对于直线L上的任何点d，都有

||c→-a→||≤||c→-d→||

这就说明在低维空间L中接近c的点为a，也就是说，如果要用低维空间的点来代替c，那么合适的点就是a。我们可以把这种想法推广到一般，即用勾股定理的方法把高维空间的一个向量c→投影到低维空间L上去，这就为处理大规模数据，或者处理多维参数模型提供了强有力的数学工具。

我们看到，在日常生活和生产实践中，古埃及人，古巴比伦人以及古代中国人创造出了如此实用，如此丰富多彩的经验几何学，但是他们没有在一般的意义上对创造出来的知识进行归纳与抽象，因此也没有总结出几何学的一般概念和原理。事实上，对应图形进行高度抽象从而建立了几何学的是思维严谨，善于雄辩的古希腊人。